排列組合一直是令很多考生頭疼的題型，其緣由一般來源于兩個(gè)方面：其一是對(duì)于排列組合概念的理解不夠深刻，在解題的時(shí)候容易錯(cuò)用排列數(shù)和組合數(shù)，其二是計(jì)算過程中思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致計(jì)算的時(shí)候或計(jì)算重復(fù)，或計(jì)算漏數(shù)。針對(duì)這兩種常見錯(cuò)誤，我們都得學(xué)會(huì)牢固掌握幾個(gè)學(xué)習(xí)步驟，在此以同素分堆模型為代表來演示一下，對(duì)于排列組合應(yīng)該如何避免犯錯(cuò)誤。
一、模型特征
要運(yùn)用排列組合的任何一個(gè)公式都應(yīng)該先熟悉它所描述的模型特征。那么，什么叫同素分堆呢?簡單來說就是把相同的多個(gè)元素，按要求分成不同的份數(shù)，每份可能有獨(dú)立的要求。例如：把10顆相同的糖分給4個(gè)小朋友，有多少種分配方式?把20個(gè)優(yōu)秀班干部分給三個(gè)班，要求一班至少3個(gè)，二班至少4個(gè)，三班至少5個(gè)。這些都叫做同素分堆問題。特征的核心在于相同元素的分堆問題
二、公式推導(dǎo)
為了更好的理解同素分堆模型，接下來我們?cè)敿?xì)的把同素分堆的公式進(jìn)行一個(gè)系統(tǒng)的分析和總結(jié)，幫助各位考生去理解和運(yùn)用。 例：把10顆相同的糖果分給3個(gè)小朋友，每人至少分一顆，請(qǐng)問有幾種不同的分法? 理解這句話本身不難，我們也可以適當(dāng)?shù)膶懗鲆徊糠?0=1+1+8=1+2+7+ ，很顯然，如果完全依賴于枚舉的話肯定會(huì)非常的麻煩，因此，我們需要簡化這個(gè)模型： 首先，我們知道如果把一根木棒鋸成三段，只需要兩次，那么我們就可以把10顆球簡化成一條線：要把10顆球分給三個(gè)小朋友，等價(jià)于把這根木棒分成三段，也就是在這10個(gè)球中插入兩根木棒就可以了，而在插入木棒的時(shí)候，因?yàn)槊慷阎辽俜忠活w，所以兩邊是不可以插板子的，并且同一個(gè)位置只能插入一根板子。 這種方法就可以分出3+6+1的結(jié)論，因此，最終的結(jié)果就是。 公式：n個(gè)相同的元素分成m堆(n m)，每堆至少分一個(gè)，那么所有的種類是。
三、題型考察。
對(duì)于常見的同素分堆，在考察點(diǎn)上，有幾種不同的變式： 1、直接求解同素分堆問題。 例如：20個(gè)優(yōu)秀班干部的名單分給四個(gè)班，每個(gè)班至少分到一個(gè)名額：2、間接求解問題，每班至少3個(gè)名額。 例如：20個(gè)優(yōu)秀班干部的名單分給四個(gè)班，每個(gè)班至少分3個(gè)名額。解決這個(gè)題目我們就可以先從20個(gè)名額中拿出8個(gè)名額，給四個(gè)班級(jí)每個(gè)先分配2個(gè)名額，剩下的再進(jìn)行分配的時(shí)候至少分一個(gè)就可以保證最終每個(gè)班次至少分3個(gè)了。因此，這個(gè)部分的答案就是： 3、間接求解問題。 一班至少1個(gè)，二班至少2個(gè)，三班至少3個(gè)。，四班至少4個(gè)。我們也可以采取上面類似的模型構(gòu)造原理，先分別給四個(gè)班依次分配0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，然后剩下的14個(gè)繼續(xù)分配，只要保證每個(gè)班次至少一個(gè)，那么就可以滿足條件了，因此最終的結(jié)果就是。 4、間接求解問題。 20個(gè)優(yōu)秀班干部名單分給四個(gè)班，可以沒有名額。解決這道題目也可以采取間接求解法。先從外面借來4個(gè)名額，分配下去每班至少一個(gè)，然后再從每個(gè)班拿回一個(gè)名額，就可以實(shí)現(xiàn)至少0個(gè)名額了。因此，結(jié)論為。
