解放軍文職招聘考試希臘后期的數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:18:52希臘后期的數(shù)學(xué)希臘后期的數(shù)學(xué)一般指公元前146年羅馬滅亡希臘以后的數(shù)學(xué)．由此，希臘本土的文化逐漸退居次要地位，科學(xué)中心開始轉(zhuǎn)移到埃及的亞歷山大里亞城，成為新的希臘文化淵藪．由于亞歷山大里亞的學(xué)者繼續(xù)不斷地發(fā)明、創(chuàng)造，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展．以下幾位數(shù)學(xué)家的工作是值得提及的．在希臘后期，雖然對歐幾里得《幾何原本》沒有作出根本性改革，但也作了很多添補(bǔ)工作．對此，首先作出貢獻(xiàn)的是海倫．海倫(Heron，約公元60年) 著《關(guān)于測量儀》(Diopt－ra)一書，其中提出了確定羅馬和亞歷山大之間的時(shí)差問題的一個(gè)較復(fù)雜的方法，并用這種儀器觀測兩地的月食．海倫的著作主要是由幾何學(xué)、應(yīng)用幾何學(xué)、應(yīng)用機(jī)械學(xué)合編成的一部百科全書性質(zhì)的書籍---《幾何》．在這部著作中，闡述了象測量儀一類器具的使用方法．他還注釋了歐幾里得的著作以及撰寫有關(guān)面積和體積的書籍，但其名著是《測量術(shù)》．這部著作分三篇，第一篇是面積的計(jì)算；第二篇是體積的計(jì)算；第三篇是解決面積和體積的有關(guān)比例問題．第一篇是最重要的篇章，其中給出已知三角形邊長，求三角形面積的公式，即 海倫公式 ．海倫是通過具體的三角形推出此公式的，首先假定三角形的邊長分別是13，14，15．海倫給出二種方法計(jì)算，其一是利用三角形的高來求面積，其二是不求出高，利用三邊求面積，他按如下步驟計(jì)算．(1)將三邊長相加 13＋14＋15＝42．(2)取和的一半 42 2=21．(4)求積、開方 21 8 7 6＝7056，此三角形的面積是84．如上步驟，可寫成如下公式：(△表示三角形面積，a、b、c為三邊長，這就是著名的海倫公式．德國數(shù)學(xué)家康托爾(M．B．Cantor， 1829---1920)曾指出，上述公式在海倫的原典中有明確記載．但是，根據(jù)阿拉伯文獻(xiàn)記載，阿基米德已經(jīng)知道這個(gè)公式，是海倫利用三角形的內(nèi)切圓征明了此公式．三角學(xué)在這個(gè)時(shí)期有了進(jìn)一步發(fā)展．雖然人們對這門學(xué)科本身的興趣在衰退，但逐漸成了其他學(xué)科，尤其是天文學(xué)的輔助學(xué)科．三角學(xué)這門科學(xué)是從確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系開始的．很可能埃及人早已發(fā)現(xiàn)三角形的不同元素之間具有某種關(guān)聯(lián)，但首先看到有必要建立三角形的邊與角之間的精確關(guān)系的，仍是希臘人．三角學(xué)在西方的最早的奠基人是希臘的希帕霍斯(Hippa－rchus，？---公元前127以后)．他是古希臘的天文學(xué)家．為了天文觀測的需要，作了一個(gè)和現(xiàn)今三角函數(shù)表相仿的 弦表 ，相當(dāng)于現(xiàn)在圓心角一半的正弦線的兩倍，可惜這份表沒有保存下來．繼承和發(fā)展了希帕霍斯研究成果的，是古代天文學(xué)的集大成者托勒密(ptolemy，約100---約170)．他撰寫一部天文學(xué)著作，原名為《數(shù)學(xué)匯編》，后來譯成阿拉伯文，再轉(zhuǎn)譯成拉丁文，變成Almagest的書名，意為《天文集》，這是一部主張 日心說 的著作．托勒密在天文學(xué)上的研究，試圖建立能精確確定某些關(guān)系的規(guī)則，正是為了改善天文計(jì)算為目的，三角學(xué)才應(yīng)運(yùn)而生．因此，球面三角學(xué)的研究先于平面三角學(xué)．長度．由于弧的大小是它所對之角的量度，所以，顯然在圖3．21中弦2 (即在弧上對著角2 所張弦的長度)和我們所說的sin 之間存在等價(jià)可以推測，托勒密的方法相當(dāng)復(fù)雜，不妨簡述如下．托勒密首先認(rèn)識(shí)到，確定不同角度的弦相當(dāng)于如何設(shè)法解決用圓的直徑長度表示圓內(nèi)接正多邊形的邊長問題．值此，他把圓周分成360等份，即360度．直徑則被分成120等份，使用60進(jìn)位分法，實(shí)際上也推廣到分?jǐn)?shù)，并使用了等分、分、秒(partes minutoe，primoe，secundoe)等名稱．這樣就能用直徑上許多等份來表示圓弧上對任一圓心角所張弦的長度．這乃是角的弦．托勒密為擴(kuò)充他的表，利用了人們熟知的關(guān)系式．從圖3．22可以看出：(chord2 )2＋ chord(180 -2 )2＝AC2＋AB2＝BC2，即1202．sin2 ＋cos2 ＝1．托勒密進(jìn)一步建立chord( － )的表示式，即 sin( － )公式，托勒密的具體作法可表述為：在直徑AD上作一半圓，B和C是半圓上的兩點(diǎn)，如圖3．23．顯然有AC=chord l，AB＝chord 2，BC＝chord( 1－ 2)，BD=chord(180 － 2)，CD=chord(180 － 1)．從定理表達(dá)式AC BD=BC AD+ AB CD或 BC AD＝AC BD- AB CD亦即[chord( - )] [chord180 ]＝(chord 1) [chord(180 - 2)]－[chord(180 － 1)]，可得出sin(A-B)的形式．為了確立半角公式，托勒密以AB為直徑作一圓，畫出兩相等的弦AD CB＋CD AB＝AC BD，即 AD2＋CD AB＝BD2=AB2-AD2．因此 2AD2＝AB2-AB CD，利用以上公式，托勒密求出有關(guān)角的正弦值，進(jìn)行造表．在第二篇中，托勒密研究了與地球球面有關(guān)的知識(shí)．在第三、四、五篇中，利用本輪解釋天文學(xué)的地心學(xué)說．在第四篇中，提出了測量學(xué)的三點(diǎn)問題的解：確定這樣的點(diǎn)，使這一點(diǎn)與給定的三個(gè)點(diǎn)中每兩點(diǎn)的連線所成之角分別為給定的角．在第六篇中，提出了日、月蝕的理論．在第七、八篇中，含有1028個(gè)恒星目錄．其余幾篇是研究行星的．《天文集》一書，在哥白尼(N．Copernicus，1473---1543)之名著《關(guān)于天體的運(yùn)轉(zhuǎn)》(Derevolutionibusorbium Caelestium)成書前，一直是標(biāo)準(zhǔn)的天文學(xué)著作．托勒密曾懷疑過歐幾里得平行公設(shè)，試圖利用《幾何原本》中的其它公理和公設(shè)推出第五公設(shè)，使之去掉歐幾里得的一系列原始假定，但未能成功．幾乎在同一時(shí)期，希臘學(xué)者門納勞斯(Menelaus of Ale－xandria，進(jìn)一步研究了球面三角，并著《球面論》(Sphaeri－ca)，著重討論球面三角形的幾何性質(zhì)．在托勒密逝世之后，希臘的黃金時(shí)代已經(jīng)過去，希臘數(shù)學(xué)開始走下坡路．正是在此時(shí)，有一些才華出眾的學(xué)者，又為希臘數(shù)學(xué)增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亞歷山大里亞的帕普斯(Pappus， 300？-350？)和丟番圖(Diophantus)，他們的工作推動(dòng)了希臘后期的數(shù)學(xué)．帕普斯的主要數(shù)學(xué)著作是《數(shù)學(xué)匯編》(MathaematicalCollections)，此書共8篇，只第一、二篇的一部分保存下來了，其余部分都已失傳．《數(shù)學(xué)匯編》一書統(tǒng)一了希臘早期幾何學(xué)知識(shí)，開始進(jìn)一步探求解決古代三個(gè)著名幾何難題的方法，并做重要補(bǔ)充，其中包括對立體幾何、高次平面曲線和等周問題的詳盡處理．按照解題所需的曲線性質(zhì)，帕普斯進(jìn)行了分類．他說： 我們已考慮過三種幾何學(xué)問題．即：平面問題，立體問題，線性問題．那些可以用直線和圓周來解決的問題，都稱為平面問題，因?yàn)橛脕斫鉀Q這類問題的線的起源是在平面內(nèi)．那些要靠一條或一條以上的圓錐曲線來解決的問題稱為立體問題，因?yàn)樵谶@些問題的作圖中要用到立體圖形的面，例如圓錐曲線．還有第三類問題：它們叫做線性問題，因?yàn)樵谶@些問題的作圖中必須用到不同于剛才所述的線，它們有著不同的并且更復(fù)雜的起源，或者它們是由于運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的．屬于這類線的是螺旋線或螺線、割圓曲線、蚌線、蔓葉線等等．《數(shù)學(xué)匯編》中含有兩個(gè)重要等周問題．即：(1)在所有周長相同的圓弓形中，以半圓為最大．(2)在所有表面積相等的立體中，以面數(shù)最多的立體為最大．這部著作中，記載著著名的 帕普斯問題 ，即： 若從任一點(diǎn)作直線與五條具有給定位置的直線在各個(gè)給定角度上相交，并且其中三條直線所圍之長方體的體積與其余兩條直線和一給定直線所圍之長方體的體積的比是給定的，那么這一點(diǎn)仍將落在給定位置的曲線上． 笛卡兒曾試圖用分析方法解決這一問題，導(dǎo)致其發(fā)現(xiàn)了解析幾何學(xué)的原理．《數(shù)學(xué)匯編》中的第七篇，含有一著名的定理，現(xiàn)稱古爾丁定理．因?yàn)?，古爾?P．Guldin，1577---1643)重新獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了這一定理，并給出證明．這個(gè)定理是，如果一平面閉曲線圖形繞曲線之外但在同一平面內(nèi)的一軸轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則旋轉(zhuǎn)出來的形體的體積等于曲面面積乘以其重心所轉(zhuǎn)過的圓周．這是有普遍意義的結(jié)果，帕普斯沒有給出定理的證明．第八篇主要研討力學(xué)，他把物體的重心定義為物體內(nèi)(并不一定屬于物體)的一點(diǎn)，若在那一點(diǎn)把它吊起來，就能使它靜止，而不管吊放的位置如何．然后他說明了用何種數(shù)學(xué)方法來確定這個(gè)點(diǎn)．帕普斯還討論了物體沿斜面移動(dòng)的問題．《數(shù)學(xué)匯編》的水平和價(jià)值雖然不能與希臘黃金時(shí)代的名著相比，但是，它是在希臘數(shù)學(xué)衰落時(shí)的著作，從而展現(xiàn)出它的特殊意義．丟番圖的一生，童年生活占1/6，青少年的時(shí)代占1/12，然后獨(dú)身生活占1/7．結(jié)婚后過了5年生了一個(gè)兒子，兒子比父親早4年而亡，只活了父親年齡的一半 ．可由一元一次方程，算出丟番圖的一生年齡．即：可得：x=84．丟番圖撰寫過三部書，其中最著名的是《算術(shù)》(Arithmetica)，另外兩部，有一部失傳，還有一部是《多角數(shù)》(Depolygonis numeris)．根據(jù)《算術(shù)》序文記載，這部著作共有13卷，現(xiàn)存只有卷．此書共解決了189個(gè)問題．主要闡述數(shù)的理論，但大部分是解決代數(shù)問題，這種脫離幾何范疇，研究實(shí)際問題的方法，為希臘數(shù)學(xué)增添了異彩．丟番圖的《算術(shù)》曾被人譽(yù)為 過渡代數(shù) ，尤其是把數(shù)學(xué)從純粹語言敘述，轉(zhuǎn)為借助于簡單的詞和某些符號(hào)來表達(dá)．例如：△Y= △υ s 表示平方，s2KY＝Kυ os 表示立方，s3KYK＝Kυ кυ os 表示立方的立方，s6丟番圖還給出了負(fù)數(shù)冪s－1，s－2， 的表示法，對于各數(shù)的和，把各符號(hào)簡單地排列在一起．如上，他不寫12，而是寫12個(gè)單位．花拉子米也有類似的寫法，丟番圖曾給出減法用的符號(hào)，用來表示．關(guān)于乘法、相等、大于、小于符號(hào)的建立，主要是阿拉伯人的工作．因此，丟番圖的《算術(shù)》基本上還是屬于文字?jǐn)⑹鲭A段．丟番圖的代數(shù)還是原始的，但有了一定的簡化符號(hào)．丟番圖曾給出求解一次方程的方法，即： 若方程兩邊的未知數(shù)的冪相同，但是系數(shù)不同，應(yīng)該由等量減去等量，直到得出含未知數(shù)的一項(xiàng)等于某個(gè)數(shù)為止．若在方程的一邊或兩邊有減項(xiàng)，那么應(yīng)當(dāng)向兩邊加上這個(gè)項(xiàng)，使兩邊只有加項(xiàng)．然后需要再一次等量減等量，直到得出未知數(shù)等于某個(gè)數(shù)為止． 總之，丟番圖施用了 合并同類項(xiàng) ， 移項(xiàng) ， 兩邊除以未知數(shù)的系數(shù) ．但他盡量避免除法運(yùn)算，而用重復(fù)的減法代替．至于二次方程，他總是算出一個(gè)正根，其解法沒有保存下來，不可詳考．丟番圖在解ax2＋c＝y(tǒng)2，bx＋c＝y(tǒng)2等類型的不定方程時(shí)顯示出了他的卓越才能．每題都用其特殊方法解決，沒有給出一般解法，即使類型相同的題目，解法也不同．正如德國數(shù)學(xué)史家韓克爾(Hermann Hankel， 1839---1873)說： 近代數(shù)學(xué)家研究了丟番圖100個(gè)題后，去解101個(gè)題，仍然感到困難．丟番圖也曾以具體的實(shí)例研究不定方程，在《算術(shù)》第二卷問題9， 把已知平方數(shù)分成兩個(gè)平方數(shù)的和 ，并把16分成兩個(gè)有理數(shù)的平方足方程：x2＋y2＝z2的有理數(shù)x，y，z．大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就是看了丟番圖的不定方程，而提出所謂 費(fèi)馬大定理 的．丟番圖也曾解過二個(gè)或二個(gè)以上未知數(shù)的聯(lián)立一次方程組．總之，丟番圖是把新思想引入數(shù)學(xué)的亞歷山大數(shù)學(xué)家的最后代表．他在代數(shù)方面做出了重要貢獻(xiàn)，被譽(yù)為代數(shù)學(xué)的鼻祖，人們用 解方程的形式，刻畫他的年齡 ，這亦是一種后世的深刻懷念吧！前面已經(jīng)提到希臘數(shù)學(xué)衰退，在公元最初幾個(gè)世紀(jì)里一直持續(xù)著．當(dāng)丟番圖去世后，到了公元5世紀(jì)時(shí)，希臘數(shù)學(xué)到達(dá)了衰落的頂點(diǎn)．當(dāng)時(shí)羅馬已經(jīng)成為世界之王，她的領(lǐng)土從印度河一直伸展到直布羅陀海峽，從尼羅河直到不列顛海岸．由于羅馬人不關(guān)心智慧的追求，只需要食物和娛樂(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不關(guān)心，因此，羅馬人在頭幾個(gè)世紀(jì)里，他們對數(shù)學(xué)或科學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)很?。魅隽_在他的塔斯克來尼恩講話(Tusculanian Oratio ns)中曾為這個(gè)事實(shí)而痛惜．他感嘆道： 希臘人給予幾何學(xué)家以最高的榮譽(yù)；因此他們中間沒有什么東西比數(shù)學(xué)發(fā)展得更光輝燦爛了．但是我們卻把這門藝術(shù)局限于測量和計(jì)算的應(yīng)用方面．在早期的基督教學(xué)者中，也只有少數(shù)幾個(gè)對數(shù)學(xué)或科學(xué)有點(diǎn)興趣．強(qiáng)烈的宗教熱忱，是不鼓勵(lì)他們對世俗學(xué)問追求和探索的．但是，強(qiáng)盛的羅馬帝國很快地瓦解，隨著凱撒城在公元455年的陷落，羅馬的統(tǒng)治權(quán)實(shí)際上已告結(jié)束．在此40年前，即公元415年，亞歷山大里亞的著名學(xué)者賽翁之女希帕蒂亞(Hypatia，約370---415)慘遭一群基督教暴徒殺害．她是古希臘最后一位數(shù)學(xué)家，曾協(xié)助父親完成對歐幾里得《幾何原本》的評(píng)注，還評(píng)注過丟番圖的《算術(shù)》和阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》．她的死標(biāo)志著通常被稱為黑暗時(shí)期的那段荒蕪時(shí)期的開始．希臘古代文明歷史結(jié)束了，在隨后的3個(gè)世紀(jì)左右，歐洲一直處于科學(xué)文化的衰退之中，即黑暗時(shí)期．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:30:08代數(shù)學(xué)1494年，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(L．Pacioli，1445 1509)的《算術(shù)、幾何、比與比例全書》(Summa de Arithmetica，Geometria，Proportioni et Proportionalita)在威尼斯出版，它是繼斐波那契L．Fibonacci)《算盤書》之后第一部內(nèi)容全面的數(shù)學(xué)書，包括算術(shù)、代數(shù)、幾何與簿記．書中采用了印度 阿拉伯?dāng)?shù)碼和許多數(shù)學(xué)符號(hào)，對16世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展有重要影響．尤其值得提到的是，書中討論了三次方程．雖然沒有成功，而得出 高于二次的方程不可解 的錯(cuò)誤結(jié)論，但正是書中的討論引導(dǎo)了數(shù)學(xué)家們的進(jìn)一步研究．16世紀(jì)的一些杰出數(shù)學(xué)家并不相信帕喬利的結(jié)論，他們孜孜不倦地探求高于二次的方程解法．實(shí)際上，16世紀(jì)歐洲代數(shù)的發(fā)展，便突出地表現(xiàn)為三次和四次方程解法的發(fā)現(xiàn)．在此期間，意大利的另一位數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾(G．Cardano，1501 1576)也在研究三次方程解法，但未成功．1539年，他懇切要求塔爾塔利亞把解法告訴他，并發(fā)誓保密，塔爾塔利亞滿足了他的要求，不過沒有證明．卡爾達(dá)諾克服了很大困難，找到了證明．他大概覺得沒有保密的必要，便在1545年發(fā)表的《大術(shù)》(Ars(G．Cardano1501 1576)Magna)中公布了三次方程解法．盡管卡爾達(dá)諾寫明了方法的來源，但失信行為還是激怒了塔爾塔利亞，受到他的強(qiáng)烈譴責(zé)．由于《大術(shù)》的影響，三次方程解法被稱為 卡爾達(dá)諾公式 或 卡當(dāng)公式 流傳開來．卡爾達(dá)諾公布的解法可簡述如下：方程x3＋px=q(p，q為正數(shù))． (1)卡爾達(dá)諾以方程x3＋6x＝20為例說明這一方法，他得到的解是x=過同樣的程序得到他還求出x3＋px＋q＝0和x3＋q＝px(p，q為正數(shù))的公式解，就是說他已經(jīng)能解任何形式的三次方程了．毫無疑問，這里包含了塔爾塔利亞的工作．但需要說明的是，他們像當(dāng)時(shí)其他數(shù)學(xué)家一樣，解方程只求正根，所以解法還是不完善的．管會(huì)受到多大的良心的責(zé)備 ，把這兩個(gè)根相乘，會(huì)得25－(-15)＝40．于是他寫道： 算術(shù)就是這樣神秘地搞下去的，它的目標(biāo)，正如常言所說，是又精致又不中用的． 他既承認(rèn)負(fù)數(shù)有平方根，又懷疑它的合法性，因此稱它為 詭變量 ．但不管怎樣，虛數(shù)畢竟在卡爾達(dá)諾那里誕生了．他還進(jìn)一步指出，方程(指實(shí)系數(shù)方程)的虛根是成對出現(xiàn)的．三次方程成功地解出之后，卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里(L．Ferrari，1522 1565)受到啟發(fā)，很快解出了四次方程，解法也發(fā)表在卡爾達(dá)諾《大術(shù)》中．下面用現(xiàn)代符號(hào)表出．設(shè)方程為x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4)移項(xiàng)，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，右邊為x的二次三項(xiàng)式，若判別式為0，則可配成x的完全平方．解這個(gè)三次方程，設(shè)它的一個(gè)根為y0，代入(5)，由于兩邊都是x的完全平方形式，取平方根，即得解這兩個(gè)關(guān)于x的二次方程，便可得到(4)的四個(gè)根．顯然，若把(6)的其他根代入(5)，會(huì)得出不同的方程，但結(jié)果是一樣的．在卡爾達(dá)諾之后，韋達(dá)對三次方程和四次方程解法作了進(jìn)一步改進(jìn)．1591年發(fā)表的《分析術(shù)引論》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是這樣解三次方程的：對于 x3+bx2+cx+d=0，結(jié)果得到簡約三次方程y3＋py＋q＝0．他和卡爾達(dá)諾一樣，只考慮方程的正根．韋達(dá)不僅研究方程解法，還努力尋找方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在《論方程的識(shí)別與修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，寫于1591年，出版于1615年)中，他提出了四個(gè)定理，后人為了紀(jì)念這位大數(shù)學(xué)家，稱之為韋達(dá)定理．二次方程的韋達(dá)定理是我們經(jīng)常使用的，就對方程理論作出重要貢獻(xiàn)的另一位數(shù)學(xué)家是笛卡兒．他承認(rèn)方程的負(fù)根，并研究了多項(xiàng)式方程的正根和負(fù)根個(gè)數(shù)的規(guī)律，得到著名的笛卡兒符號(hào)法則：多項(xiàng)式方程f(x)=0的正根個(gè)數(shù)等于方程系數(shù)的變號(hào)次數(shù)，或比此數(shù)少一正偶數(shù)；負(fù)根個(gè)數(shù)等于f(-x)的系數(shù)的變號(hào)次數(shù)，或少于此數(shù)一個(gè)正偶數(shù)．在這里，m重根是看作m個(gè)根的．實(shí)際上，正根個(gè)數(shù)和負(fù)根個(gè)數(shù)都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系數(shù)變號(hào)次數(shù)，p為0，1，2 ，p的取值要使n－2p非負(fù)．笛卡兒還研究了方程的根的個(gè)數(shù)同方程次數(shù)的關(guān)系，認(rèn)為n次方程至多有n個(gè)根．在討論三次方程時(shí)，他得到如下結(jié)論：若一有理系數(shù)三次方程有一個(gè)有理根，則此方程可表為有理系數(shù)因子的乘積．他的另一項(xiàng)重要成果是現(xiàn)今所謂因子定理：f(x)能為(x-a)整除(a＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a是f(x)＝0的一個(gè)根，所有這些成就都是在笛卡兒《方法論》(DiscoursdelaM thod，1637)的附錄《幾何》(LaG ometrie)中出現(xiàn)的．除了方程以外，二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)也在代數(shù)史上占有一席之地．實(shí)際上，指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)式定理(即(a＋b)n在n為正整數(shù)時(shí)的展開式)曾被不同民族多次獨(dú)立發(fā)現(xiàn)．11世紀(jì)的中國人賈憲和15世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形這個(gè)三角形特點(diǎn)是，左右兩行的數(shù)都是1，中間每個(gè)數(shù)為肩上兩數(shù)之和．在歐洲，德國數(shù)學(xué)家阿皮安努斯(P．Apianus，1495 1552)最早給出這個(gè)三角形(1527年)，1544年左右，施蒂費(fèi)爾引入 二項(xiàng)式系數(shù) 這個(gè)名稱，并指出怎樣從(1＋a)n-1來計(jì)算(1＋a)n．1653年，帕斯卡寫成《算術(shù)三角形》(Trait dutrianglearithm tique)一書，從上述三角形出發(fā)，詳細(xì)討論了二項(xiàng)展開式的系數(shù)．該書于1665年出版后，影響很大．由于帕斯卡在數(shù)學(xué)界的威望，人們習(xí)慣地稱此三角形為帕斯卡三角形．實(shí)際上，他的功績主要是通過組合公式給出了二項(xiàng)式系數(shù)，即(a+b)n牛頓(T．Newton，1643 1727)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，這個(gè)公式不僅適用于指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)展開式，而且當(dāng)指數(shù)為分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，同樣適用．他把二項(xiàng)式定理推廣到分指數(shù)和負(fù)指數(shù)的情形，指出這三種形式的二項(xiàng)展開式第1項(xiàng)都是1，后面各項(xiàng)系數(shù)及字母指數(shù)也具有相同的變化規(guī)律：設(shè)n，m為正整數(shù)，則如果括號(hào)里是a-b，則第k＋1項(xiàng)的符號(hào)由(－1)k決定．它們的區(qū)別只牛頓的這些研究成果，是在17世紀(jì)60年代取得的，但直到1676年6月給萊布尼茨的信中，才首次透露．另外，萊布尼茨和日本的關(guān)孝和(1642 1708)各自獨(dú)立地發(fā)明了行列式，并建立起關(guān)于行列式的初步理論，這也是17世紀(jì)的代數(shù)成果之一．關(guān)孝和是日本傳統(tǒng)數(shù)學(xué) 和算的奠基人．他的貢獻(xiàn)還有：發(fā)現(xiàn)方程正負(fù)根存在的條件及與牛頓迭代法類似的解法，給出圓的徑、弧、矢間關(guān)系的無窮級(jí)數(shù)表達(dá)式，等等．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:07:38巴比倫的數(shù)學(xué)巴比倫人和埃及人一樣，是首先對數(shù)學(xué)的萌芽作出貢獻(xiàn)的民族，對其原始數(shù)學(xué)內(nèi)容的考證，大部分來自近百年來考古研究的結(jié)果．一、記數(shù)法與進(jìn)位制一百多年前，人們發(fā)現(xiàn)巴比倫人是用楔形文字(Cuneiform)來記數(shù)的．他們是用頭部呈三角形的木筆把字刻寫在軟泥板上，然后，用火燒或曬干使它堅(jiān)如石，以便保存下來進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)交流．由于字的形狀象楔子，所以人們稱為楔形文字．他們用垂直的楔形來表示1，如 ．用末端二個(gè)橫向楔形表示10，如 ．用記號(hào) 表示35．用記號(hào) 表示9，后來簡化為 ．以上可以看出，巴比倫人創(chuàng)建的數(shù)的體系與埃及、羅馬數(shù)字頗為相似．但是，值得我們注意的是巴比倫人已經(jīng)有了位值制的觀念，通常為60進(jìn)制．這種認(rèn)識(shí)的主要根據(jù)是地質(zhì)學(xué)家勞夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森開萊(現(xiàn)在的拉山或拉莎)發(fā)掘出漢穆拉比時(shí)代的泥板書，上面記載著一串?dāng)?shù)字，前7個(gè)是1，4，9，16，25，36，49，之后中斷，而在應(yīng)該是64的地方，看到的卻是1 4，其后接著寫出1 21，再后是2 24，直到最后寫的是58 1．這個(gè)數(shù)列只有假定其為60進(jìn)位時(shí)，才能很自然接續(xù)，即：1 4＝60＋4＝64=82，1 21=60＋21＝81＝92，58 1=58 60＋1＝3481＝592．應(yīng)該指出，巴比倫人的位值制有時(shí)也不甚明確；因?yàn)橥暾奈恢抵朴洈?shù)法，必須有表示零的記號(hào)，但在早期的泥板書上尚沒有發(fā)現(xiàn)零號(hào)．例如，(5 6 3)可表示5 602＋6 60＋3＝18363，也可表 下文來分析、確定．古巴比倫的60進(jìn)位法之產(chǎn)生年代是相當(dāng)久遠(yuǎn)的．但據(jù)有的材料記載，早期的蘇默人是不知道60進(jìn)位制的．從他們所用的數(shù)學(xué)符號(hào)中可以看出，大約在公元前3000年以前，是用以下記號(hào)來記數(shù)的：1，10，60的記號(hào)是用頭部是圓形的木筆刻成，而1和60的記號(hào)都是半圓形，只是大小不一樣，10的記號(hào)是圓形，600的記號(hào)是10和到了公元前2000年左右，開始使用楔形文字，以此又建立一套數(shù)的記號(hào)，不妨做如下比較：通過如上二種數(shù)碼的表示法之比較，不難看出，巴比倫采用60進(jìn)制是很自然的①．二、算術(shù)運(yùn)算由于巴比倫從1到59的數(shù)碼都是以1和10或更多一些數(shù)的記號(hào)為基本記號(hào)結(jié)合而成的，因此，在此范圍內(nèi)的加減法不過是加上或去掉某種記號(hào)罷了．巴比倫人對整數(shù)的乘法，采取了 分乘相加 的方法．例如，某數(shù)乘以27，他們先乘20，再乘7，然后把結(jié)果相加，最后得出結(jié)果．他們還造出了一些乘法表．(左邊是巴比倫人的記號(hào)，右邊用現(xiàn)代符號(hào)表示)巴比倫人在做整數(shù)除以整數(shù)時(shí)，采用了乘以倒數(shù)的方法，并且還造出了倒數(shù)表．巴比倫人研究了數(shù)的平方和開平方、立方和開立方的問題．當(dāng)方根是整數(shù)時(shí)，給出了準(zhǔn)確的值．對于其它方根，由于采用60進(jìn)位制，只能是近似值．并造出了簡單的平方、平方根、立方、立方根表．巴比倫人也曾給出了求a2＋b型的方根近似公式：數(shù)大．到了希臘時(shí)期，著名數(shù)學(xué)家阿基米德(Archi－medes)、海倫(Heron)創(chuàng)造出了平方后比原數(shù)小的近似公式．三、代巴比倫人不但具有數(shù)系和數(shù)字運(yùn)算的一些知識(shí)，他們也具有處理一般代數(shù)問題的能力．例如：在賽凱萊(Senkereh)出土的古巴比倫(漢穆拉比王朝時(shí)期)的原典AO8862，記載著下面的問題：(用現(xiàn)代語言敘述)一塊長方形土地面積加上長與寬之差為3.3①(即183)，而長與寬之和為27，這塊地的長、寬、面積各幾何？(1)古巴比倫人的解法：(按60進(jìn)制計(jì)算)27＋3.3=3.302＋27=2929 2＝14.3014；30 14；30＝3.30；153.30；15-3.30＝0；150；15的平方根是0；3014；30＋0；30=15 (長)14；30-0；30=14因?yàn)樵瓉硎菍?7加上2，現(xiàn)在應(yīng)從14減2，則寬是14－2= 12故得到，15 12＝3.0(面積)15-2＝133.0＋3＝3.讀者可以辨認(rèn)，以上例題的解法是從6行到29行之間，是用楔形文字書寫的．(2)如果用現(xiàn)代的列二元一次方程組的方法解，則很簡便．設(shè)長為x，寬為y，可列成如下方程組：從AO8862原典的最后一行的結(jié)果看出，x＝15，y＝12是滿足方程組(1)的解的．在前面解題時(shí)，實(shí)際上是用新的寬y"代替原寬y，即：y"=y+2，y=y"-2．使用如上這種代換方法，使問題簡單化了．代換后，可得到新的二元一次方程組：把方程組(2)的第1式加到方程組(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地寫著)27+3.3=3.302+27＝29之后，繼續(xù)解方程組(2)．從上邊的具體問題求解中，我們可以悟出解方程組的一般方法，用現(xiàn)代符號(hào)表示，可謂：其解為：巴比倫人求解的各個(gè)步驟是符合解方程組的一般方法的，但是，他們沒有給出求解的一般公式．在巴比倫人利用楔形文字撰寫的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由兩正方形并組成一個(gè)面積為1000，一正方形邊為另一正方形邊的巴比倫人是按如下方法求解的：(用現(xiàn)代符號(hào)表示)設(shè)兩個(gè)正方形邊長分別為x，y．得到一個(gè)正整數(shù)解為：x＝30．以上說明巴比倫人在漢穆拉比時(shí)代已經(jīng)掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算術(shù)方法求解．巴比倫人對簡單的三次和四次方程也求解過．例如在原典中有這樣的題目：一個(gè)立方體，其體積為長、寬、高分別為x、y、z，體積為V，實(shí)際上是求解方程組解此方程組，涉及算立方根問題，巴比倫人用數(shù)表來求解(見算術(shù)運(yùn)算部分的數(shù)表)．四、幾何在古巴比倫時(shí)期，常常把幾何問題化為代數(shù)問題來解決．在他們心目中，幾何似乎不占有重要位置．但是，在20世紀(jì)中葉布爾昂(E．M．Buuins)博士和魯達(dá)(M．Rutten)撰寫的《斯薩數(shù)學(xué)書》(Textes math matiques de Suse，M moiresMission arch ol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯薩出土的古巴比倫的楔形文字原典中，含有求正多邊形和圓的面積的近似公式，說明古巴比倫人對幾何問題也有一定的興趣．例如，在拉爾薩(Larsa)出土的古巴比倫原典VAT8512中，有下面的問題(用現(xiàn)代符號(hào)和語言敘述)．已知底邊b＝30的三角形，由平行于底的直線把其分成兩部分，即高分別為h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面積F1-F2＝S＝7.0 h2-h1=h＝20，求割線長(x)．由以上條件，可建立如下關(guān)系式：由圖2．3可知，比例式h2∶h1=x∶(b-x) (5)成立．根據(jù)以上條件，可解出x，即：由上可知，巴比倫人建立的關(guān)于x，h1，h2的關(guān)系式是正確的．但是，還沒有理由(證據(jù))說明以上是一種純粹代數(shù)的推演．?dāng)?shù)學(xué)史家尤伯爾(P．Huber)對(4)式做了如下解釋(Isis Vol46，p104)：如果在三角形一邊加一個(gè)長為h1＋h2的長方形，拼成一個(gè)上、下底邊長分別為c和a＝c＋b的梯形，延長割線x，把此梯形分成兩部分，如圖2．4其面積差為：(F1-F2)-c(h2-h1)＝s-ch．的面積分成二等分z，并給出(參考MKT I，p131)可得到(6)式的證明：按照尤伯爾的解釋，以上的解法思路是幾何學(xué)的思想，而不是代數(shù)的．巴比倫人很早就知道畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，并能應(yīng)用此定理解決具體的、比較簡單的問題，在古巴比倫的數(shù)學(xué)原典中有記載，并使用了1500年之久，直到賽萊烏科斯王朝時(shí)代(公元前310年以后)的著作中，仍有記載．巴比倫人也會(huì)求棱柱、圓柱、棱臺(tái)、圓臺(tái)的體積，他們用高乘以兩底面積和的一半的方法進(jìn)行計(jì)算．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:24:29阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是指7世紀(jì)伊斯蘭教興起后，崛起于阿拉伯半島，建立在橫跨亞、非、歐三洲的阿拉伯帝國統(tǒng)治下各民族所開創(chuàng)的數(shù)學(xué)．通常所謂伊斯蘭國家的數(shù)學(xué)或中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)也是指阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．在伊斯蘭國家里，科學(xué)文化的發(fā)展是許多民族的學(xué)者共同勞動(dòng)的結(jié)果，數(shù)學(xué)也不例外．他們是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希臘人、敘利亞人、摩爾人、猶太人和阿拉伯人，等等．他們大都是伊斯蘭教徒．講到這一時(shí)期這一地區(qū)的數(shù)學(xué)，沒有很恰當(dāng)?shù)脑~語來表述，由于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)著作都是用阿拉伯文撰寫的，一般就統(tǒng)稱為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．上述各民族的學(xué)者有時(shí)也統(tǒng)稱為阿拉伯人．公元6世紀(jì)以前，阿拉伯人過著游牧部落生活．當(dāng)時(shí)阿拉伯半島盛行多神崇拜，各部落間戰(zhàn)爭連綿不斷．由于東西商路改道，社會(huì)經(jīng)濟(jì)日趨衰落，要求改變這種社會(huì)狀況和實(shí)現(xiàn)政治統(tǒng)一，成為各部落的共同愿望．伊斯蘭教的創(chuàng)始人默罕穆德(Mvhammad，約570 632)，出生于阿拉伯半島麥加城的一個(gè)沒落貴族家庭，早年曾隨商隊(duì)到過敘利亞等地，后來回到麥加城經(jīng)商．公元610年，在麥加開始創(chuàng)傳以信仰一神為中心的伊斯蘭教．后因遭到多神教徒的反對和迫害，于公元622年秘密出走麥地那．他在那里組織了一個(gè)接受伊斯蘭教的阿拉伯部落聯(lián)盟，號(hào)召所有伊斯蘭教徒 穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血緣的狹隘界限以共同的信仰為紐帶團(tuán)結(jié)起來．伊斯蘭教就這樣在阿拉伯半島創(chuàng)立并迅速傳播開去，成為團(tuán)結(jié)阿拉伯人的一種力量．阿拉伯部落統(tǒng)一后，形成了一個(gè)威勢很大的軍事力量．在 與異教斗爭 的神圣口號(hào)下，迅速向東方和西方的富饒國家入侵，并在被征服的國家里普及了伊斯蘭教．不到一個(gè)世紀(jì)，阿拉伯人就占領(lǐng)并統(tǒng)治了幾乎整個(gè)比利牛斯半島、所有地中海沿岸的非洲國家、近東地區(qū)、高加索和中亞細(xì)亞，形成了一個(gè)橫跨歐、亞、非三洲的強(qiáng)大的阿拉伯帝國．我國歷史上稱之為大食國．由于哈利發(fā)政權(quán)的對立斗爭，在8世紀(jì)中葉，大食國分裂為東大食和西大食．東大食的首都是巴格達(dá)，西大食的首都是科爾多瓦(Cordova)．公元1000年到1300年之間，基督教十字軍東侵，把穆斯林逐出圣地．13世紀(jì)初，成吉思汗率蒙古部隊(duì)西征．13世紀(jì)中葉，成吉思汗之孫旭烈兀再次率兵西征，占領(lǐng)了原來阿拉伯哈利發(fā)在亞洲的所有領(lǐng)土，創(chuàng)立了伊兒汗國．蒙古人征服了這些伊斯蘭國家后不久，他們自己也都皈依了伊斯蘭教．到了14、15世紀(jì)，在中亞又出現(xiàn)了另一個(gè)蒙古帝國 帖木耳國．12世紀(jì)末，西班牙人推翻最后一個(gè)摩爾人的統(tǒng)治，阿拉伯人失去了他們在歐洲的立足點(diǎn)．在阿拉伯帝國的統(tǒng)治下，被征服的民族很快轉(zhuǎn)向伊斯蘭教．同時(shí)，阿拉伯語很快成為各國通行的語言，在知識(shí)界成為學(xué)術(shù)交流的工具．這和中世紀(jì)西方各國把拉丁語作為通用語言一樣．阿拉伯人和其它民族的人民共同創(chuàng)造了新的、別具一格的文化．當(dāng)時(shí)歐洲正處在漫長的黑暗時(shí)期，阿拉伯世界的科學(xué)文化卻后來居上，成為當(dāng)時(shí)的人類科學(xué)文化中心之一．8世紀(jì)中葉至9世紀(jì)初，出現(xiàn)了幾位熱心提倡科學(xué)的哈利發(fā)：曼蘇爾(al－Mansur，712 775)，阿倫 賴世德(Hārūnar－Rashid， 765 809)，馬蒙(al－Mamun， 786 833)等．在他們的大力支持和鼓勵(lì)下，設(shè)立學(xué)校、圖書館和觀象臺(tái)．在東阿拉伯形成了以巴格達(dá)為首的學(xué)術(shù)中心．哈利發(fā)馬蒙在巴格達(dá)創(chuàng)辦了著名的 智慧館 (Bayt al－Hikmah)．這是自公元前 3世紀(jì)亞歷山大博物館之后最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān)，除用作翻譯館外，還起到科學(xué)院和公共圖書館的作用，它還附設(shè)一座天文臺(tái)．在這里，大量的波斯、希臘和印度的古典著作被系統(tǒng)地譯為阿拉伯文．哈利發(fā)還組織力量對這些著作進(jìn)行廣泛而深入的研究．就這樣，東西方的文華精華被融合在一起，出現(xiàn)了一個(gè)學(xué)術(shù)繁榮時(shí)期．阿拉伯的數(shù)學(xué)研究就從這里開始．從8世紀(jì)起，大約有一個(gè)到一個(gè)半世紀(jì)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的翻譯時(shí)期．由于阿拉伯人能夠控制或取得拜占庭帝國、埃及、敘利亞、波斯及印度諸國的人才和文化，所以他們得以接觸幾乎所有的古代重要著作．歐幾里得(Euclid，約公元前330 前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287 前212)、阿波羅尼奧斯(Apollonius，約公元前262 前190)、海倫(Heron ofAlexandria，約62年)、托勒密(Ptolemy，約100 約170)、丟番圖(Diophantus，250)、以及婆羅摩笈多(Brahmagupta，598 665)等著名學(xué)者的數(shù)學(xué)和天文學(xué)著作都被譯成阿拉伯文．在翻譯過程中，許多文獻(xiàn)被重新校訂、考證、勘誤、增補(bǔ)和注釋．這樣一來，大量的古代科學(xué)遺產(chǎn)獲得了新生．已經(jīng)荒廢了幾個(gè)世紀(jì)的古代學(xué)者的著作又重新成為人們手頭的教材．當(dāng)古希臘的原著失傳之后，這些阿拉伯文譯本就成為后來歐洲人了解古希臘數(shù)學(xué)的主要來源，而許多古希臘時(shí)期的著作也正是通過它們的阿拉伯文譯本才得以流傳下來．在上述漫長而有效的翻譯時(shí)期之后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)出現(xiàn)了一個(gè)創(chuàng)造性的活躍時(shí)期．阿拉伯人不僅繼承了古典科學(xué)遺產(chǎn)，而且使之適合自己的特殊需要和思想方法．他們吸取和保存了希臘和印度數(shù)學(xué)的精華，加上他們自己的創(chuàng)造性勞動(dòng)，建立起獨(dú)具風(fēng)格的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．他們的貢獻(xiàn)為世界數(shù)學(xué)寶庫增添了光彩．阿拉伯人引進(jìn)了印度數(shù)字及其記數(shù)法，利用古代數(shù)學(xué)方法廣泛地解決了一系列計(jì)算，特別是天文計(jì)算問題．他們的近似計(jì)算達(dá)到了很高的精確度．在代數(shù)學(xué)方面，他們建立了一元二次方程的一般解法，三次方程的幾何解法，并把代數(shù)學(xué)明確地定義為 解方程的科學(xué) ．他們的工作為代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了方向．在三角學(xué)方面，他們引進(jìn)了幾種新的三角函數(shù)，建立了若干三角公式，制造了大量的三角函數(shù)表．更重要的是，三角學(xué)通過他們的工作開始脫離天文學(xué)而獨(dú)立．阿拉伯人為證明歐幾里得第五公設(shè)作過多次嘗試，推進(jìn)了平行線理論的研究．阿拉伯的數(shù)學(xué)著作具有自己的風(fēng)格．許多著作十分注意證明的論據(jù)，材料的系統(tǒng)安排和敘述的清晰性．大量書籍中都會(huì)見到具有東方民族特點(diǎn)的豐富有趣的例題和習(xí)題，這些問題往往具有十分新穎的實(shí)際內(nèi)容．
