解放軍文職招聘考試數(shù)學(xué)符號(hào)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-2219:29:41數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明，是數(shù)學(xué)史尤其是代數(shù)史上的大事．由于采用了較好的符號(hào)體系，使16世紀(jì)的代數(shù)發(fā)展為符號(hào)代數(shù)，從而進(jìn)入一個(gè)新紀(jì)元．法國數(shù)學(xué)家許凱(N．Chuquet，1445？1500？)在1484年寫成的《算術(shù)三篇》(TripartyenlaSciencedesNombres)中，使用了一些縮寫符號(hào)，如用P表示加法，用m表示減法．至于＋號(hào)和－號(hào)，最早出現(xiàn)在德國數(shù)學(xué)家維德曼(J．Widman，約1460約1499)寫的《商業(yè)速算法》(BehendundhnpschRechnunguffallenKauffmanschafften，1489)中．他用＋表示超過，用－表示不足．到1514年，荷蘭的赫克(Hoecke)首次用＋表示加法，用-表示減法．1544年，德國數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾(M．Stifel，14871567)在《整數(shù)算術(shù)》(ArithmeticaIntegra)中正式用＋和－表示加減，這兩個(gè)符號(hào)逐漸被公認(rèn)為真正的算術(shù)符號(hào)，廣泛采用．以符號(hào)代表乘是英國數(shù)學(xué)家奧特雷德(W．Oughtred，5751660)首創(chuàng)的．他于1631年出版的《數(shù)學(xué)之鑰》(ClavisMathematicae)中引入這種記法．但萊布尼茨合理地加以反對(duì)，他說：我不喜歡把作為乘法記號(hào)，因?yàn)樗菀着cx混用．于是，他發(fā)明了另一種乘號(hào)．1659年，世界上第一個(gè)除號(hào)誕生在瑞士拉恩(Rahn)的《代數(shù)》(Algebra)中．至此，四則運(yùn)算符號(hào)齊備了，當(dāng)然還遠(yuǎn)未達(dá)到被各國普遍采用的程度．現(xiàn)代使用的冪指數(shù)記法和根號(hào)，都是法國大數(shù)學(xué)家笛卡兒發(fā)明的．早在16世紀(jì)，便出現(xiàn)在一些歐洲數(shù)學(xué)家的著作中了．1637年出版的《方法論》(DiscoursdelaMthode)中，笛卡兒第一次把等號(hào)和不等號(hào)的發(fā)明權(quán)屬于英國人．1557年，數(shù)學(xué)家雷科德(R．Recorde，15101558)在他的《智慧的激勵(lì)》(TheWhetstoneofWitte)一書中首先把＝作為等號(hào)，并解釋說：最相像的兩件東西是兩條平行線，所以這兩條線應(yīng)該用來表示相等．不等號(hào)＞和＜是同時(shí)問世的，哈里奧特(T．Harriot，15601621)在1631年出版的《實(shí)用分析技術(shù)》(Ar－tisAnalyticaePraxis)一書中引入這兩個(gè)符號(hào)，并明確寫道：a＞b表示a量大于b量，a＜b表示a量小于b量．∵和雖然是一對(duì)姐妹符號(hào)，但它們誕生的時(shí)間卻差了一個(gè)多世紀(jì)．早在1659年，拉恩便在《代數(shù)》中用表示所以了．而表示因?yàn)榈摹咧钡?805年才在英國出現(xiàn)．大括號(hào){}是法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F．Vieta，15401603)發(fā)明的，小括號(hào)()最早出現(xiàn)在17世紀(jì)吉拉爾(A．Girard，15951632)的著作中．高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的無窮大符號(hào)也是17世紀(jì)出現(xiàn)的，它是多產(chǎn)的英國數(shù)學(xué)家沃利斯(J．Wallis，16161703)的產(chǎn)物之一．應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，對(duì)符號(hào)代數(shù)貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家是韋達(dá)．他是第一個(gè)系統(tǒng)使用字母的人，他不僅用字母表示未知量和未知量的乘冪，而且用字母表示系數(shù)．他通常以輔音字母表示已知量，以元音字母表示未知量．這種用字母代替數(shù)的作法無疑是代數(shù)的精髓．韋達(dá)還揭示了代數(shù)和算術(shù)的本質(zhì)區(qū)別，他說代數(shù)是施行于事物的類的運(yùn)算，而算術(shù)則是用來確定數(shù)目的數(shù)的運(yùn)算．這樣，代數(shù)就成為研究一般類型的學(xué)問，從而奠定了代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．在這種學(xué)科中，用字母表示數(shù)字的好處是顯而易見的．后來，笛卡兒又對(duì)韋達(dá)使用的字母作了改進(jìn)，他用字母表中前面的字母(如a，b，c)表示已知量，未后的字母(如x，y，z)表示未知量，成為現(xiàn)在的習(xí)慣用法．除了代數(shù)符號(hào)以外，16，17世紀(jì)還出現(xiàn)了大量幾何符號(hào)和三角符號(hào)．1634年，在法國數(shù)學(xué)家埃里岡(P．Hrigone，？約1643)的著作中，引用了(角)、△(三角形)、□(正方形)、(長方形)、(平行四邊形)、⊙(圓)、(垂直)、＝(平行)等幾何符號(hào)．由于歐洲已普遍使用=作為等號(hào)，所以奧特里德于1667年改用∥表示平行．至于用表示平行四邊形，則是19世紀(jì)的事了．相似和全等符號(hào)是萊布尼茨發(fā)明的，他在1679年的著作中，用a～b表示a和b相似，用ABCCDA表示兩個(gè)三角形全等．到18世紀(jì)，全等符號(hào)才改為≌．三角符號(hào)中的(度)、(分)、(秒)是卡拉穆埃爾(J．Caramuel，16061682)在1670年首先使用的．1626年，吉拉爾發(fā)明了正切符號(hào)tan和正割符號(hào)sec．1634年，正弦符號(hào)sin在發(fā)明大量幾何符號(hào)的埃里岡著作中誕生了．余弦符號(hào)co和余切符號(hào)cot則出現(xiàn)較晚，直到1674年才由穆爾(J．Moore)引入．
解放軍文職招聘考試中國數(shù)學(xué)Ⅱ(宋元)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-2219:27:16中國數(shù)學(xué)Ⅱ(宋元)第一節(jié)時(shí)代背景宋元數(shù)學(xué)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的高潮，其中不少成就代表著當(dāng)時(shí)世界的先進(jìn)水平．這一高潮的出現(xiàn)決非偶然，有著深刻的內(nèi)在原因和社會(huì)原因．一、數(shù)學(xué)知識(shí)的積累枝葉繁茂的宋元數(shù)學(xué)之樹，深深扎根于前代．從漢到唐，方程理論有了相當(dāng)大的發(fā)展．二次方程解法早已被人們掌握，唐代又解決了三次方程問題．下面自然要考慮四次及更高次方程的解法．所以，增乘開方法乃至高次方程數(shù)值解法在宋代的出現(xiàn)是順理成章的．但以前建立方程多用幾何方法，而高于三次的方程是難于找到幾何解釋的．突破幾何思維的束縛，尋找一般的建立方程的方法，就成為大勢(shì)所趨了．天元術(shù)便是在這種情況下產(chǎn)生的，它是一種簡便的、可以建立任意次方程的一般方法．這時(shí)，由于線性方程組古已有之，便產(chǎn)生了一種把兩者結(jié)合起來，建立高次方程組的趨勢(shì)，于是迅速產(chǎn)生了二元術(shù)、三元術(shù)和四元術(shù)．正如阮元(1764---1849)所說：四元者，是又寓方程(指線性方程組)于天元一術(shù)焉者也．可見，宋元數(shù)學(xué)的繁榮是與數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律性分不開的．二、生產(chǎn)力的發(fā)展北宋時(shí)期，工商業(yè)比唐有了更大發(fā)展，尤其是造紙與印刷業(yè)的突飛猛進(jìn)，直接為數(shù)學(xué)的發(fā)展創(chuàng)造了條件．同時(shí)，生產(chǎn)力的發(fā)展還對(duì)數(shù)學(xué)提出新的要求，例如土木工程和水利工程中經(jīng)常用到方程，這便要求有簡便、實(shí)用的列方程和解方程方法．另外，宋元時(shí)期的科學(xué)普遍發(fā)展到較高水平，各領(lǐng)域的科學(xué)家燦如繁星．指南針、活字印刷等重大發(fā)明全在這一時(shí)期完成．在這樣的歷史環(huán)境中，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科競(jìng)相發(fā)展是很自然的．三、北宋的數(shù)學(xué)教育若把數(shù)學(xué)比作航船，數(shù)學(xué)教育便是載船之水，水漲船高，宋代發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)繁榮的不可缺少的條件．據(jù)史料記載，北宋算學(xué)制度始于元豐七年(1084)，同時(shí)刊刻《算經(jīng)十書》，以作教材．雖由于理學(xué)家李等人的反對(duì)，有過反復(fù)，但終于在崇寧三年(1104)將元豐算學(xué)條制，修成敕令，并于當(dāng)年建起算學(xué)館，生員以二百一十人為額，許命官及庶人為之．從此以后，這種官方數(shù)學(xué)教育一直延續(xù)到北宋朝廷南渡，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的普及發(fā)揮了重要作用，而這種普及正是提高的基礎(chǔ)．同時(shí)，民間的數(shù)學(xué)教育也對(duì)培養(yǎng)人才發(fā)揮了一定作用，天算家楚衍對(duì)賈憲的教育便是一例．四、思想自由的社會(huì)環(huán)境在掌握前人成果的基礎(chǔ)上，是否能不受束縛地自由思考，是數(shù)學(xué)理論前進(jìn)與否的關(guān)鍵．這種自由不僅由數(shù)學(xué)家本人的素質(zhì)所決定，還與社會(huì)環(huán)境有關(guān)．宋元時(shí)期的思想統(tǒng)治比較寬松，不存在人人必須遵守的官方思想．尤其是以忽必烈為代表的元初統(tǒng)治者，比較尊重知識(shí)，尊重科學(xué)，采取了一些匯集科技人才和鼓勵(lì)科學(xué)研究的政策．對(duì)于那些不愿為元統(tǒng)治者服務(wù)的知識(shí)分子，忽必烈也不勉強(qiáng)，更不干涉其學(xué)術(shù)研究．這些作法是有利于科學(xué)發(fā)展的．當(dāng)時(shí)隱居講學(xué)成風(fēng)，許多知識(shí)分子隱而不仕，埋頭作學(xué)問．由于擺脫了功名的束縛，數(shù)學(xué)思想得到比較自由的發(fā)展，這對(duì)數(shù)學(xué)理論水平的提高也是有好處的．五、哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的影響1．道家思想對(duì)宋元數(shù)學(xué)的促進(jìn)作用在宋元時(shí)代，道學(xué)、道教、道家等各哲學(xué)流派都十分重視道，但其內(nèi)涵各不相同．道學(xué)(亦稱理學(xué))之道講倫理，道教之道講修身，道家之道講自然．實(shí)際上，道家不僅在理論上崇尚自然，而且在行動(dòng)上也多是陶醉于大自然而看輕功名利祿．這與金元之際的隱居的數(shù)學(xué)家們何其相似！他們的思想易于被這些數(shù)學(xué)家接受，是毫不奇怪的．老子說：人法地，地法天，天法道，道法自然．莊子說：道者，萬物之所由也．庶物失之者死，得之者生，為事逆之則敗，順之則成．不難看出，老、莊的道都指自然規(guī)律．這種思想對(duì)宋元數(shù)學(xué)的發(fā)展是有促進(jìn)作用的，不少數(shù)學(xué)家(如李冶)從道家思想中吸取營養(yǎng)，孜孜不倦地探求數(shù)學(xué)規(guī)律，取得理論上的突破．2．《周易》對(duì)數(shù)學(xué)的影響《周易》把道解釋為陰和陽的相互作用，一陰一陽之謂道．可見其道與道家之道有相通之處，也含有規(guī)律的意思．《周易》作者認(rèn)為道是可用的，百姓日用而不知．而學(xué)者或科學(xué)家的任務(wù)就在于揭示這些規(guī)律，自覺地運(yùn)用它們，即精義入神，以致用也．這種致用精神在宋元數(shù)學(xué)界深入人心．另外，《周易》極言數(shù)學(xué)的重要，說它可以通神明(《系辭傳》)、順性命(《說卦傳》)，這一觀點(diǎn)對(duì)秦九韶等宋代數(shù)學(xué)家影響很大．3．理學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的影響宋代理學(xué)以二程(程顥、程頤)和朱熹為代表，但除了這一主流學(xué)派外，張載亦為理學(xué)之一派．張載的元?dú)庹f被宋元數(shù)學(xué)家們接受．不僅秦九韶的數(shù)學(xué)觀受其影響，朱世杰四元式中以元?dú)饩又械淖鞣ㄒ部赡芘c此有關(guān)．理學(xué)中還有一個(gè)與科學(xué)相關(guān)的重要論點(diǎn)---格物致知．程頤說：格，至也，言窮至物理也．并認(rèn)為窮物理者，窮其所以然也．這種認(rèn)為物有理而理可窮的觀點(diǎn)是正確的．朱世杰在《四元玉鑒》的卷首中多次談到理，指的就是這種物理．但程、朱理學(xué)的主導(dǎo)思想是重倫理、輕實(shí)事，而他們的倫理觀的核心又是嚴(yán)重束縛人們思想的三綱五常，所以從整體上來說是不利于科學(xué)發(fā)展的．只是由于宋元時(shí)期思想比較自由，程、朱理學(xué)并未占據(jù)統(tǒng)治地位，還常常受到數(shù)學(xué)家的抵制，所以未能阻止數(shù)學(xué)高潮的形成．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-2220:27:04計(jì)算數(shù)學(xué)長期以來，數(shù)學(xué)一直以數(shù)值計(jì)算為其最主要的任務(wù)，大量數(shù)學(xué)研究的目的無非是建立算法并不斷加以改進(jìn)，使之算得準(zhǔn)、算得快、算得容易、方便，得出令人滿意的結(jié)果．20世紀(jì)計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，根本改變了計(jì)算數(shù)學(xué)這一分支，對(duì)數(shù)學(xué)及其他科學(xué)也產(chǎn)生革命性的影響．1947年馮諾伊曼等人發(fā)表的高階矩陣的數(shù)值求逆標(biāo)志著數(shù)值分析這門學(xué)科的誕生．其目的不僅要建立優(yōu)秀的算法，特別是適用于計(jì)算機(jī)的程序，而且要對(duì)算法進(jìn)行比較和分析，特別是對(duì)誤差分析穩(wěn)定性收斂速度以及計(jì)算量、存貯量等要進(jìn)行細(xì)致的研究，其后產(chǎn)生一系列的有效方法，如烏拉姆(S．Ulam，19091984)等創(chuàng)造的蒙特卡羅法以及有限元法、稀疏矩陣、樣條函數(shù)法、快速傅里葉變換(1965)等一系列行之有效的方法．各種數(shù)值代數(shù)、數(shù)值積分以及解各種方程的方法也有許多改進(jìn)及研究．針對(duì)具體問題也產(chǎn)生了計(jì)算力學(xué)、計(jì)算流體力學(xué)、計(jì)算物理學(xué)、計(jì)算化學(xué)等等新興分支，成為與實(shí)驗(yàn)互補(bǔ)的科研手段．60年代初在基礎(chǔ)研究方面還產(chǎn)生了計(jì)算復(fù)雜性理論，提出一系列基本的與計(jì)算有關(guān)的理論問題．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)的問題大都化成微分方程，對(duì)于這些方程的分析方法及數(shù)值方法的發(fā)展簡述如下：1．常微分方程從天體力學(xué)的三體問題到各種非線性自由振動(dòng)及受迫振動(dòng)問題，許多實(shí)際問題都轉(zhuǎn)化為解常微分方程的問題．一般來講，常微分方程，特別是非線性常微分方程，找不到精確的解析解，甚至在有解析解時(shí)，也不能由常用的函數(shù)表出，因此，從19世紀(jì)晚期，人們就致力于尋找好的求近似解析解的方法，而第二次世界大戰(zhàn)以后，更促進(jìn)各種數(shù)值方法的改進(jìn)及發(fā)展．最早的近似方法是龐加萊所發(fā)展起來的攝動(dòng)方法，現(xiàn)在已成為數(shù)學(xué)的一分支攝動(dòng)理論．最早它是瑞典天文學(xué)家林德斯泰特(Lindstedt)在1883年為解天體力學(xué)一個(gè)復(fù)雜問題提出來的．為了避免長期項(xiàng)的出現(xiàn)，龐加萊在1892年對(duì)于方程嚴(yán)格證明存在定理，從而使該方法合法化．而對(duì)于非線性振動(dòng)中常見的方程(其中f是t的周期函數(shù)，是小參數(shù))，則由弗瑞德利克斯等人(19421943)及斯托克(J．J．Stoker，1905)于1950年所解決．同時(shí)蘇聯(lián)克雷洛夫(H．M．Крылов，18791955)及博戈留波夫(H．H．Боголюбов，19091991)在1943年發(fā)展了范德波(VanderPol)于1926年首創(chuàng)的方法，發(fā)展了一套平均法，后來在研究非線性振動(dòng)時(shí)常用．另外一種所謂調(diào)和均衡法首先由達(dá)芬(G．Duffing)在1918年提出，應(yīng)用也很廣泛．從20年代起，問題更集中于奇異攝動(dòng)問題(如小參數(shù)ε出現(xiàn)于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和大參數(shù)問題)．最早是杰夫瑞斯(H．Jeffreys，1891)從1924年起發(fā)表四篇論文研究馬丟方程解法，其后溫采爾(G．Wentzel，1898)、克拉默斯(H．Kramers，18941952)、布理魯因(L.Brillouin，18891969)獨(dú)立發(fā)展成解薛定諤方程的WKB方法．另外還有蘭格(R.E.Langer，1894)在1931年提出并由奧立佛(Oliver)發(fā)展起的LO方法，對(duì)于空氣動(dòng)力學(xué)許多問題中產(chǎn)生的強(qiáng)奇異性，1949年由萊特希爾(M．S．Lighthill，1924)引進(jìn)自變量的非線性變換，使得龐加萊正則攝動(dòng)方法也能產(chǎn)生有效漸近解，這方法于1953年由郭永懷，(19091968)發(fā)展后被命名為PLK方法1955年華沙(W．Wasow，1909)把這個(gè)經(jīng)驗(yàn)方法加以系統(tǒng)化．解常微分方程的數(shù)值方法還有不少，應(yīng)用最廣泛的是差分方法．最早可追溯到18世紀(jì)，其后有相當(dāng)大的改進(jìn)．2．偏微分方程偏微分方程是由物理學(xué)、幾何學(xué)、函數(shù)論等提出來要求求解的問題，從18世紀(jì)中葉起，二百多年來對(duì)于各種類型的方程進(jìn)行大量的研究，只有到第二次世界大戰(zhàn)之后，才有比較系統(tǒng)的研究．但應(yīng)用問題，特別是非線性問題，仍然是具體問題具體分析，缺乏統(tǒng)一的方法，許多問題發(fā)展了有效的數(shù)值解法．19世紀(jì)以來，研究最多的有波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程及位勢(shì)方程，對(duì)于彈性力學(xué)方程及麥克斯韋方程組也有許多進(jìn)展，而流體力學(xué)方程，特別是有粘性的不可壓縮流體納維爾斯托克斯方程則有許多困難．進(jìn)入20世紀(jì)以后，一系列新的方程出現(xiàn)了：如邊界層方程、薛定諤方程、反應(yīng)擴(kuò)散方程等等．求解偏微分方程的過程推動(dòng)了分析的發(fā)展：如傅里葉分析及各種積分變換、復(fù)變函數(shù)論、變分法、正交函數(shù)論、漸近展開、位勢(shì)理論等等．在求解偏微分方程的近似方法及數(shù)值方法當(dāng)中，較常用的有變分方法、有限差分方法及有限元方法等．變分方法來源于黎曼為解決狄利克雷問題所提出的狄利克雷原理，該原理雖遭魏爾斯特拉斯的批判，但在1900年被希爾伯特恢復(fù)其合法性．他的做法是直接求出泛函極值的最小系列，從而解對(duì)應(yīng)的邊值問題．希爾伯特的學(xué)生黎茲(W．Ritz，18781909)在1908年應(yīng)用希爾伯特的思想提出黎茲方法，他首先把解展成完小序列來逼近解．對(duì)于本征值問題Au＝u，可以用瑞利商為泛函來通過黎茲方法解決．蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伽遼金(Б．Г．Галёркин，18711945)改變決定系數(shù)的方法，可用于更為一般的問題，包括初值問題，這類方法統(tǒng)稱黎茲伽遼金方法．最常用的數(shù)值方法是有限差分方法，其歷史可追溯到歐拉，它以差商代微商，將微分方程化為差分方程．它適用于各種類型方程．關(guān)鍵問題是收斂性及穩(wěn)定性問題．1928年，庫朗、弗瑞德里克斯及盧伊征明三大典型方程的典型差分格式的收斂性定理，為該方法的應(yīng)用打下基礎(chǔ)，第二次世界大戰(zhàn)之后，由于計(jì)算機(jī)的運(yùn)用，差分方法做為有效的數(shù)值方法得到有效的發(fā)展．1948年馮諾伊曼對(duì)于無粘性流體的非線性雙曲型方程，為避開激波引出的間斷性，引進(jìn)人工粘性項(xiàng)，為此設(shè)計(jì)差分方法是現(xiàn)代流體力學(xué)數(shù)值計(jì)算主要方法．在論文中他引進(jìn)穩(wěn)定性這個(gè)十分重要的概念，并給出穩(wěn)定性的必要條件．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926)及里希特邁爾(R．D．Richtmyer，1910)建立了一般差分格式的收斂性及穩(wěn)定性等價(jià)的定理，它對(duì)實(shí)際計(jì)算中誤差積累問題有著重要意義．在戰(zhàn)后的數(shù)值方法中，有限元方法是另一個(gè)最常用的方法．它可以看成是變分方法及差分方法有機(jī)的結(jié)合，其思想可追溯到庫朗1943年的論文．1956年起一些工程人員在處理結(jié)構(gòu)工程問題時(shí)又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，60年代開始引進(jìn)連續(xù)體的單元剖分，逐步明確有限元法是變分原理加剖分逼近的思想并建立數(shù)值分析的理論基礎(chǔ)．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-2219:25:00代數(shù)學(xué)公元820年，花拉子米寫了一本《代數(shù)學(xué)》．它的阿拉伯文書名是《ilmal-jabrwalmuqabalah》．比較流行的一種說法認(rèn)為現(xiàn)在西文中代數(shù)學(xué)一詞algebra由此書名中的al－jabr脫胎而來．a(chǎn)l－jabr原意是還原，根據(jù)上下文的意思，是指把負(fù)項(xiàng)移到方程另一端變成正項(xiàng)，方程才能平衡．muqabalah意即化簡或?qū)ο?，是指方程兩端可以消去相同的?xiàng)或合并同類項(xiàng)．書名直譯應(yīng)為《還原與對(duì)消的科學(xué)》．a(chǎn)l－jabr譯成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra則逐漸成為代數(shù)學(xué)這門科學(xué)的名稱．這一名稱的起源完全符合代數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)．代數(shù)的基礎(chǔ)就是脫離具體數(shù)字以一般的形式來考慮算術(shù)運(yùn)算，它的課題首先是提出解方程的變形規(guī)則．花拉子米正是以某種變形規(guī)則的名稱來為自己的書命名，從而體現(xiàn)了代數(shù)學(xué)的真髓．《代數(shù)學(xué)》用十分簡單的例題講述了解方程的一般原理．它的條理清楚、通俗易懂．正象花拉子米在序言中所說：在這本小小的著作里，我所選取的材料是數(shù)學(xué)中最容易和最有用途的．是人們?cè)谔幚硐铝惺挛镏薪?jīng)常需要的：在繼承遺產(chǎn)、分配財(cái)產(chǎn)、審理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘溝渠等各種場(chǎng)合中，《代數(shù)學(xué)》由三部分組成：第一部分講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)，第二部分論及各種實(shí)用算術(shù)問題，最后一部分(也是最大的一部分)列舉了大量的關(guān)于繼承遺產(chǎn)的各種問題．在第一部分里，花拉子米系統(tǒng)地論述了六種類型的一次和二次方程的解法．這些方程由下列三種量構(gòu)成：根、平方、數(shù)．根相當(dāng)于現(xiàn)在的未知數(shù)x，平方就是x2，數(shù)是常數(shù)項(xiàng)．《代數(shù)學(xué)》完全用文字?jǐn)⑹?，沒有出現(xiàn)任何字母和縮寫符號(hào)．為了表達(dá)方便起見，我們同時(shí)用現(xiàn)代的符號(hào)來表示這六種方程：1．平方等于根ax2=bx2．平方等于數(shù)ax2＝c3．根等于數(shù)ax=c4．平方和根等于數(shù)ax2＋bx=c5．平方和數(shù)等于根ax2＋c＝bx6．根和數(shù)等于平方bx＋c＝ax2《代數(shù)學(xué)》的前六章，依次討論了上述六種類型方程的解法．例如，第四章有這樣一個(gè)問題：一個(gè)平方數(shù)及其根的十倍等于三十九．此問題即方程x2＋10x＝39．花拉子米把求解過程敘述為：取根數(shù)目之半，在這里就是五，然后將它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，開平方得八，再減去根數(shù)的一半，即五，余三．這就是根．用現(xiàn)代的符號(hào)表示這一過程，即對(duì)于一般方程x2＋px＝q，上述結(jié)果相當(dāng)于給出求根公式在第五章，花拉子米求出了方程x2+21＝10x的兩個(gè)正根，相當(dāng)于的結(jié)果小于自由項(xiàng)時(shí)，開平方是不可能的，此時(shí)方程無根．這相當(dāng)于指出我們現(xiàn)在稱之為判別式的必須非負(fù)．以上六種類型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形．作者的講解是如此地詳盡和系統(tǒng)，使讀者很容易掌握其解法．在這種意義上，花拉子米后來被冠以代數(shù)學(xué)之父的稱號(hào)．從第七章開始，花拉子米轉(zhuǎn)向方程的根的幾何證明．例如，對(duì)于方程x2＋10x＝39，花拉子米給出了兩種不同的幾何證明．第一種證法是在邊長為x的正方形的四個(gè)邊上向外作邊長為x和形，然后把圖形補(bǔ)充為邊長為(x＋5)的大正方形(圖6．3)．在兩種方法中，花拉子米都利用已知方程x2＋10x＝39求出大正方形的面積為64，然后開方，再求出x來．花拉子米的幾何證明明顯地受希臘幾何學(xué)的影響，許多證明都可以在歐幾里得《幾何原本》的第Ⅱ篇中找到原型．花拉子米之后，埃及學(xué)者艾布卡米爾(AbūKāmil，約850約930)首先繼承了他的代數(shù)學(xué)并使之發(fā)揚(yáng)光大．關(guān)于艾布卡米爾的生平，現(xiàn)在知道得很少．據(jù)有關(guān)傳記材料記載，艾布卡米爾是伊斯蘭文化全盛時(shí)期(9世紀(jì)中至11世紀(jì))著名的數(shù)學(xué)家．他在算術(shù)、代數(shù)和實(shí)用幾何方面都有很大貢獻(xiàn)．艾布卡米爾的一些數(shù)學(xué)手稿和譯文已經(jīng)保存下來，其中最重要的一部論著是大約寫于公元900年的《代數(shù)書》(Kitabfial-jabrwal－muqabala)．《代數(shù)書》問世后，在很長時(shí)間內(nèi)被廣泛利用，在傳入西方各國之后產(chǎn)生很大影響，因此在數(shù)學(xué)史界被認(rèn)為是艾布卡米爾碩果僅存的著作．《代數(shù)書》主要討論二次方程．艾布卡米爾繼承了花拉子米關(guān)于二次方程的理論，并使之得到進(jìn)一步的發(fā)展．書中有大量題目出自花拉子米的《代數(shù)學(xué)》．此外，艾布卡米爾還用相當(dāng)大的篇幅研究那些不同類型的方程并給出多種解法．花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中列舉了40個(gè)問題，而艾布卡米爾的《代數(shù)書》中共有69個(gè)問題．艾布卡米爾是第一個(gè)隨意使用未知數(shù)的高次冪的伊斯蘭數(shù)學(xué)家．在他的著作中，出現(xiàn)了直至x8的各次方冪(x7除外)．他稱x3為立方，稱x4為平方平方，稱x5為平方平方，根，x6立方立方，x8平方平方平方平方．事實(shí)上，艾布卡米爾對(duì)這些方冪所采用的名稱是按指數(shù)相加的原則施行的．在《代數(shù)書》中，艾布卡米爾用大量篇幅闡述了代數(shù)運(yùn)算法則．包括單項(xiàng)式、二項(xiàng)式及其它各種形式的代數(shù)運(yùn)算．他還提出了求兩個(gè)二次根式的和與差的一般運(yùn)算法則：有趣的是，這些公式又多次出現(xiàn)在后世數(shù)學(xué)家的著作中．例如，在11世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家凱拉吉，印度12世紀(jì)數(shù)學(xué)家婆什迦羅(BhaskaraⅡ，11141185)，以及意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契(L．Fibonacci約1170約1240以后)的書中都出現(xiàn)了完全一樣的公式．艾布卡米爾不僅專門討論了二次根式的運(yùn)算法則，而且把這些結(jié)果運(yùn)用到二次方程的理論中去．他所列舉的方程，不僅根可以是無理數(shù)，而且方程的系數(shù)也可以是二次根式．他這樣毫無顧忌地使用無理數(shù)，在花拉子米之后是絕無僅有的．正因?yàn)槌霈F(xiàn)了無理數(shù)系數(shù)，而使解題過程十分復(fù)雜，艾布卡米爾也不得不放棄幾何證明．《代數(shù)書》中，出現(xiàn)了許多十分高超的解題技巧和復(fù)雜的運(yùn)算過程．艾布卡米爾的代數(shù)著作在兩個(gè)方面比花拉子米的《代數(shù)學(xué)》有明顯的進(jìn)步．一方面，理論水平有所提高．如前所述，艾布卡米爾不僅對(duì)各類方程的解法都指出其任意性，而且還十分注意用代數(shù)恒等式來化簡方程，他還特別指出了代數(shù)恒等式的普遍意義．另一方面，艾布卡米爾的代數(shù)學(xué)更具有一般性．他引進(jìn)了大量的繁瑣的代數(shù)運(yùn)算(也用文字?jǐn)⑹?，在具無理數(shù)系數(shù)的方程中，已放棄了幾何解法，這無疑是一大進(jìn)步．艾布卡米爾的《代數(shù)書》問世后產(chǎn)生了重要的影響．傳入歐洲后對(duì)宣傳花拉子米的代數(shù)學(xué)起到很大作用．它的部分內(nèi)容還被斐波那契收入其《實(shí)用幾何》(Practicageometriae1220)中，這是一部專門討論代數(shù)在幾何中的應(yīng)用的著作．繼花拉子米、艾布卡米爾之后，另一個(gè)對(duì)代數(shù)學(xué)有重要貢獻(xiàn)的是11世紀(jì)巴格達(dá)的學(xué)者凱拉吉(al－Karajī卒于10191029年間)．凱拉吉以兩部數(shù)學(xué)著作聞名于世．一本是《算術(shù)全書》(hisābal－jummal)，其中有關(guān)代數(shù)學(xué)的章節(jié)可以認(rèn)為是他寫于1010年的內(nèi)容極其豐富的代數(shù)著作的序篇．這部代數(shù)書的書名是．《發(fā)赫里》(ал-Фахри，al-Fakhr)．根據(jù)凱拉吉的自述，他在寫這本書的過程中，忍受著苛政與暴力的干預(yù)，久久未能完成．后來遇到一位有遠(yuǎn)見的執(zhí)政者發(fā)赫里(Fakhral-Mulk)，他是學(xué)術(shù)的庇護(hù)者．在他的支持下凱拉吉才寫完了這本書．為了紀(jì)念這位恩主，就以他的名字來命名這本書．《發(fā)赫里》包括卷頭語和兩大部分．在卷頭語中，凱拉吉闡明了借助于已知量求未知量是代數(shù)學(xué)這門學(xué)科的宗旨．并指出，具有一般性的代數(shù)運(yùn)算法則是求未知量的有力工具．這就進(jìn)一步明確了解方程是代數(shù)學(xué)的基本課題．11世紀(jì)，阿拉伯學(xué)者已經(jīng)熟悉了丟番圖的《算術(shù)》書．凱拉吉在《發(fā)赫里》中大量地引用《算術(shù)》書的內(nèi)容，他不僅把先輩們關(guān)于二次方程的理論網(wǎng)羅殆盡，而且無論在理論還是應(yīng)用方面都出現(xiàn)了一系列新內(nèi)容．他引進(jìn)的代數(shù)運(yùn)算比艾布卡米爾的更豐富、更系統(tǒng)，他所選用的習(xí)題比花拉子米甚至丟番圖的更多樣化．例如，凱拉吉給出了下面關(guān)于三次根式運(yùn)算的關(guān)系式：特別引人注意的是，凱拉吉系統(tǒng)地研究了含有三項(xiàng)式的由未知數(shù)的任意次冪及其平方所組成的方程，如ax2n+bxn=c，ax2n+c=bxn，bxn+c=ax2n，ax2n+m=bxn+m+cxn．其中a，b，c都是正數(shù)．這類方程原則上都能化為二次方程，卡拉吉分別以4次、6次和7次方程為例說明求xn的方法．當(dāng)然，零解他沒有考慮在內(nèi)．為了求出上述各方程的根，凱拉吉還給出了開任意n次方根的方法．此外，凱拉吉還應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明了下列求和公式在凱拉吉的著作中，可以發(fā)現(xiàn)大量的來源于印度和希臘的材料，也有相當(dāng)多的內(nèi)容體現(xiàn)了伊斯蘭各民族古老的文化傳統(tǒng)．總之，《發(fā)赫里》一書由三種文化匯合而成，我們還很難估計(jì)出各種文化所占的比例．作為方程學(xué)說的代數(shù)學(xué)，它的發(fā)展在波斯數(shù)學(xué)家奧馬海亞姆的著作中達(dá)到了新的高度．他在自己的代數(shù)著作中，明確地把代數(shù)學(xué)定義為解方程的科學(xué)：代數(shù)學(xué)是一門有技巧的科學(xué)，它的研究對(duì)象是純粹的數(shù)(正有理數(shù))和可度量的量(指幾何上的各種量：線、面、體等)．雖然這些數(shù)和量是未知的，但可以通過已知的東西來確定它們．精通這門科學(xué)在于掌握確定算術(shù)的和幾何的未知量的方法．奧馬海亞姆的這種定義，直到十九世紀(jì)末都保持著它的意義．在阿拉伯的代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，還有大量的不定方程問題．例如，艾布卡米爾就寫過專門論述線性不定方程整數(shù)解的著作《算術(shù)技術(shù)珍品》有三種情形：唯一，無解，多組解．對(duì)每一種情形他都給出了具體的例子．值得注意的是，艾布卡米爾所舉的6個(gè)例子都以中國古代算書《張丘建算經(jīng)》中百雞問題的形式出現(xiàn)．印度9世紀(jì)的數(shù)學(xué)家也曾研究過百雞問題，因此，人們猜測(cè)，百雞問題是從中國經(jīng)印度傳入阿拉伯國家的．《算術(shù)技術(shù)珍品》中第1個(gè)問題相當(dāng)于下列方程組艾布卡米爾求出了這個(gè)方程組的唯一解是x＝19，y=80，z=1．第5題相當(dāng)于方程組正整數(shù)x要在y＝160時(shí)才得到，不符合第一個(gè)方程，因此問題無解．第6題是艾布卡米爾關(guān)于不定方程的一個(gè)最杰出的代表作，相當(dāng)于下列方程組消去v得或者艾布卡米爾構(gòu)造了兩列整數(shù)解．他首先取y＝1，3，5，；z＝3，6，9，；u＝2，6，10，由問題的實(shí)際背景分析得知以上各未知量應(yīng)滿足y59，z54，u50，由此可得出1443組解．然后，又取y＝2，4，6，；z=3，6，9，；u＝4，8，12，并根據(jù)題意有y58，z51，u52，從而又得出1233組解，此方程組總共有2676組解．在凱拉吉的《發(fā)赫里》中，也出現(xiàn)了一些關(guān)于不定方程的問題，其大部分取材于丟番圖的《算術(shù)》書．這些具有東方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)特點(diǎn)的題材是很引人入勝的．例如，有一個(gè)題目相當(dāng)于下列方程組它最初出現(xiàn)在丟番圖的《算術(shù)》中，后來傳到歐洲，在斐波那契的著作中再現(xiàn)．后者對(duì)某些系數(shù)作了一些變動(dòng)．《發(fā)赫里》中，還出現(xiàn)了形如y2＝ax2＋bx＋c的不定方程，凱拉吉對(duì)這種方程進(jìn)行了一般的討論．除了一次，二次的方程外，凱拉吉還討論了高次不定方程．例如，對(duì)方程組他設(shè)y=mx，z＝nx，則由原方程可得m2-n2=a-b，則問題轉(zhuǎn)化為求兩數(shù)m，n，使其平方之差等于已知數(shù)a－b．而這個(gè)問題他又專門進(jìn)行了研究．此外，凱拉吉還研究了方程x3+y3＝z2，x2－y2＝z3，x2y3＝z2，x3＋10x2＝z2的整數(shù)解和x2-y3＝z2，x3＋y2=z3的分?jǐn)?shù)解等等．阿拉伯代數(shù)學(xué)也有很大的局限性．首先，阿拉伯人沒有引進(jìn)負(fù)數(shù)(艾布瓦法的著作中出現(xiàn)了唯一的例外)．為了避免負(fù)數(shù)，他們對(duì)方程進(jìn)行了細(xì)致的分類．解方程過程中，放棄了負(fù)根和零根．其次，阿拉伯人沒有使用字母或縮寫符號(hào)，他們的代數(shù)著作完全用文字?jǐn)⑹觯@兩方面都比印度人倒退了一步．
