解放軍文職招聘考試埃及數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 18:18:50埃及數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容根據(jù)埃及紙草書的記載，古埃及人對(duì)算術(shù)、代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)，并能做簡(jiǎn)單地應(yīng)用．現(xiàn)簡(jiǎn)要介紹如下：一、算術(shù)古埃及人所創(chuàng)建的數(shù)系與羅馬數(shù)系有很多相似之處，具有簡(jiǎn)單而又純樸的風(fēng)格，并且使用了十進(jìn)位制，但是不知道位值制．古埃及人是用象形文字來(lái)表示數(shù)的，例如根據(jù)史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數(shù)．由于是用象形文字表示數(shù)，進(jìn)行相加運(yùn)算是很麻煩的，必須要數(shù) 個(gè)位數(shù) 、 十位數(shù) 、 百位數(shù) 的個(gè)數(shù)．但在計(jì)算乘法時(shí)，埃及人采取了逐次擴(kuò)大2倍(duplication)的方法，運(yùn)算過(guò)程比較簡(jiǎn)便．乘法：古埃及人采用反復(fù)擴(kuò)大倍數(shù)的方法，然后將對(duì)應(yīng)結(jié)果相加．例如蘭德紙草書(希特版)第32頁(yè)，記載著12 12的計(jì)算方法，是從右往左讀的．右邊用現(xiàn)代數(shù)字表示，這就是倍增法(duplatio)．由下表可知，計(jì)算的方法是把12依次擴(kuò)大2倍，那么12 12為12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的數(shù)在右側(cè)(現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字在左側(cè))標(biāo)記斜線，算得結(jié)果144．在更早的時(shí)期，埃及人也曾采用 減半法 來(lái)計(jì)算乘法．首先是將一乘數(shù)擴(kuò)大10倍，然后再計(jì)算10倍的一半．例如紙草書(卡芬版)第6頁(yè)，計(jì)算16 16，是按如下方法計(jì)算的，即減半法(mediatio)．/1 16/10 160/5 80合計(jì) 256這種乘法的計(jì)算方法是古代人計(jì)算技能的基礎(chǔ)，是非常古老的方法．希臘時(shí)期的學(xué)校曾講授過(guò)埃及人的計(jì)算方法，到了中世紀(jì)，還講授 倍增法 和 減半法 ．除法：埃及人很早就認(rèn)識(shí)到除法是乘法的逆運(yùn)算，并蘊(yùn)含在實(shí)際計(jì)算之中．例如，計(jì)算1120 80(見蘭德紙草書第69頁(yè))．1 80/10 8002 160/4 320合計(jì) 1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14個(gè)80．分?jǐn)?shù)：古埃及人對(duì)分?jǐn)?shù)的記法和計(jì)算都比現(xiàn)在復(fù)雜得多．例如，他分叫做 第三部分 ．例如，這樣，通過(guò)二個(gè)部分與第三部分；三個(gè)部分與第四部分的結(jié)合來(lái)表示出一個(gè)整體．現(xiàn)在的西歐，有時(shí)也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等語(yǔ)言來(lái)表達(dá)三分之一、四分之一這類分?jǐn)?shù)的含義．按此規(guī)律理解，五分之一可認(rèn)為與四個(gè)部分結(jié)合成一個(gè)整體的第五部分．從語(yǔ)言的角度，五分之二(twofifths)就無(wú)法表達(dá)了．隨著分?jǐn)?shù)范圍的不斷擴(kuò)大，計(jì)算方法的不斷改進(jìn)，埃及人用 單位分?jǐn)?shù) (分子是1的分?jǐn)?shù))來(lái)表示分?jǐn)?shù)：對(duì)一般分?jǐn)?shù)則拆成 單位分?jǐn)?shù) 表示①．例如，(用現(xiàn)代符號(hào)表示)
解放軍文職招聘考試劉徽的數(shù)學(xué)成就-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:20:28劉徽的數(shù)學(xué)成就一、劉徽生平劉徽是中國(guó)古代最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他是三國(guó)時(shí)代魏國(guó)人，籍貫山東，生卒年不詳，約死于西晉初年．劉徽出身平民，終生未仕，被稱為 布衣 數(shù)學(xué)家．劉徽在童年時(shí)代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，是以《九章算術(shù)》為主要讀本的，成年后又對(duì)該書深入研究，于公元263年左右寫成《九章算術(shù)注》，劉徽自序說(shuō)： 徽幼習(xí)《九章》，長(zhǎng)再詳覽．觀陰陽(yáng)之割裂，總算術(shù)之根源．探賾之暇，遂悟其意，是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注． 劉徽在研究《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，對(duì)書中的重要結(jié)論一一證明，對(duì)其錯(cuò)誤予以糾正，方法予以改進(jìn)，并提出一些卓越的新理論、新思想．《九章算術(shù)注》是劉徽留給后世的十分珍貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論研究的奠基之作．劉徽還著有《重差》一卷，專講測(cè)量問(wèn)題．他本來(lái)把《重差》作為《九章算術(shù)注》的第十卷，唐代初年改為單行本，并將書名改作《海島算經(jīng)》，流傳至今．從劉徽著作來(lái)看，他學(xué)風(fēng)嚴(yán)謹(jǐn)，實(shí)事求是，而且富于批判精神，敢于創(chuàng)新，理論研究相當(dāng)深入，堪稱數(shù)學(xué)史上的一代楷模．二、《九章算術(shù)注》此為劉徽的力作，反映了他在算術(shù)、代數(shù)、幾何等方面的杰出貢獻(xiàn)．1．算術(shù)(1)十進(jìn)分?jǐn)?shù)劉徽之前，計(jì)算中遇到奇零小數(shù)時(shí)，就用帶分?jǐn)?shù)表示，或者四舍五入．劉徽首創(chuàng)十進(jìn)分?jǐn)?shù)，用以表示無(wú)理根的近似值．這種記數(shù)法與現(xiàn)代劉徽用忽來(lái)表示，但a后各位就不必再命名了，劉徽稱它們?yōu)?微數(shù) ，說(shuō)： 微數(shù)無(wú)名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母．退之彌下，其分彌細(xì)． 這種方法，與我們現(xiàn)在開平方求無(wú)理根的十進(jìn)小數(shù)近似值的方法一致，即其中a1，a2， ，an是0至9之間的一位整數(shù)．(2)齊同術(shù)《九章算術(shù)》中雖有分?jǐn)?shù)通分的方法，但沒有形成完整理論，劉徽提出齊同術(shù)，使這一理論趨于完善．他說(shuō)： 凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同． 又進(jìn)一步提出通分后數(shù)值不變的理論依據(jù)，即 一乘一除，適足相消，故所分猶存 法實(shí)俱長(zhǎng)，意亦等也 ．前句話的意思是，一個(gè)分?jǐn)?shù)用同一個(gè)(非零)數(shù)一乘一除，其值不變；后句話的意思是，分?jǐn)?shù)的分子、分母擴(kuò)大同一倍數(shù)，分?jǐn)?shù)值不變．劉徽指出， 同 即一組分?jǐn)?shù)的公分母， 齊 是由 同 而來(lái)的，是為了使每個(gè)分?jǐn)?shù)值不變．另外，劉徽還將齊同術(shù)引而伸之，用來(lái)解釋方程及盈不足問(wèn)題．2．代數(shù)(1)對(duì)正負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)《九章算術(shù)》成書后，正負(fù)數(shù)的運(yùn)算越來(lái)越廣泛，但究竟應(yīng)該如何認(rèn)識(shí)正負(fù)數(shù)，卻很少有人論及．劉徽在《九章算術(shù)注》中首次給出正負(fù)數(shù)的明確定義： 今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之． 就是說(shuō)以正負(fù)數(shù)表示得失相反的量．他還進(jìn)一步闡述正負(fù)的意義： 言負(fù)者未必負(fù)于少，言正者未必正于多． 即負(fù)數(shù)絕對(duì)值未必少，正數(shù)絕對(duì)值未必大．另外，他又提出籌算中表示正負(fù)數(shù)的兩種方法：一種是用紅籌表正數(shù)，黑籌表負(fù)數(shù)；再一種是以算籌擺法的正、斜來(lái)區(qū)別正、負(fù)數(shù)．這兩種方法，對(duì)后世數(shù)學(xué)都有深遠(yuǎn)影響．(2)對(duì)線性方程組解法的改進(jìn)《九章算術(shù)》中用直除法解線性方程組，比較麻煩．劉徽在方程章的注釋中，對(duì)直除法加以改進(jìn)，創(chuàng)立了互乘相消法．例如方程組劉徽是這樣解的：(1) 2，(2) 5，得(4)-(3)，得21y＝20(下略)．顯然，這種方法與現(xiàn)代加減消元法一致，不過(guò)那時(shí)用的是籌算．劉徽認(rèn)為，這種方法可以推廣到多元， 以小推大，雖四、五行不異也． 他還進(jìn)一步指出， 相消 時(shí)要看兩方程首項(xiàng)系數(shù)的同異，同則相減，異則相加．劉徽的工作，大大減化了線性方程組解法．(3)方程理論的初步總結(jié)劉徽在深入研究《九章算術(shù)》方程章的基礎(chǔ)上，提出了比較系統(tǒng)的方程理論．劉徽所謂 程 是程式或關(guān)系式的意思，相當(dāng)于現(xiàn)在的方程，而 方程 則相當(dāng)于現(xiàn)在的方程組．他說(shuō)： 二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之．并列為行，故謂之方程． 這就是說(shuō)： 有兩個(gè)所求之物，需列兩個(gè)程；有三個(gè)所求之物，需列三個(gè)程．程的個(gè)數(shù)必須與所求物的個(gè)數(shù)一致．諸程并列，恰成一方形，所以叫方程． 這里的 物 ，實(shí)質(zhì)上是未知數(shù)，只是當(dāng)時(shí)尚未抽象出未知數(shù)的明確概念．定義中的 皆如物數(shù)程之 是十分重要的，它與劉徽提出的另一原則 行之左右無(wú)所同存 ，共同構(gòu)成了方程組有唯一組解的條件．若譯成現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這兩條即：方程個(gè)數(shù)必須與未知數(shù)個(gè)數(shù)一致，任意兩個(gè)方程的系數(shù)不能相同或成比例．劉徽還認(rèn)識(shí)到，當(dāng)方程組中方程的個(gè)數(shù)少于所求物個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解不唯一；如果是齊次方程組，則方程組的解可以成比例地?cái)U(kuò)大或縮小，即 舉率以言之 ．對(duì)于方程組的性質(zhì)，劉徽總結(jié)出如下諸條： 令每行為率 ，即方程各項(xiàng)成比例地?cái)U(kuò)大或縮小，不改變方程組的解； 每一行中，雖復(fù)赤黑異算，無(wú)傷 ，即方程各項(xiàng)同時(shí)變號(hào)，不改變方程組的解； 舉率以相減，不害余數(shù)之課也，即兩方程對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，不改變方程組的解．很明顯，劉徽對(duì)于線性方程組的初等變換，已經(jīng)基本掌握了．不過(guò)，他沒有考慮交換兩個(gè)方程的位置，因?yàn)椴贿M(jìn)行這種變換亦可順利求出方程組的解，而且調(diào)換算籌的位置是不方便的．3．幾何(1)割圓術(shù)劉徽以前，一般采用周三徑一的圓周率，這是很不精確的．劉徽在《九章算術(shù)注》中指出：周三徑一的數(shù)據(jù)實(shí)際是圓內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)和直徑的比值，不是圓周與直徑的比值．他認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，其面積就越接近圓面積．他從這一思想出發(fā)，創(chuàng)立了科學(xué)的求圓周率方法---割圓術(shù)．具體來(lái)說(shuō)，就是以1尺為半徑作圓，再作圓內(nèi)接正六邊形，然后逐漸倍增邊數(shù)，依次算出內(nèi)接正六邊形、正12邊形乃至正192邊形的面積．劉徽之所以選半徑為1，是為了使圓面積在數(shù)值上等于圓周率，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算．他利用公式(ln為內(nèi)接正n邊形邊長(zhǎng)，S2n為內(nèi)接正2n邊形面積)來(lái)求各正多邊形面積．至于正多邊形邊長(zhǎng)，他是反復(fù)利用勾股定理來(lái)求的．例如，由以下三式即可求得正12邊形邊長(zhǎng)(圖4．14)：TR＝OR-OT，后，便根據(jù)S192＜S＜S192＋(S192－S96)劉徽舍棄分?jǐn)?shù)部分，取圓面積為314平方寸，從而得到 ＝3．14、 這種方法可以求得任意精度的圓周率近似值，劉徽對(duì)這一點(diǎn)是很清楚的．不過(guò)，他根據(jù)當(dāng)時(shí)的需要，運(yùn)算中只取到兩位小數(shù)．割圓術(shù)的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上的一件大事．古希臘的阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)也曾用割圓術(shù)求圓周率，他的方法是以圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時(shí)逼近圓，比劉徽的方法麻煩一些．劉徽的成就晚于阿基米德，但是獨(dú)立取得的．(2)幾何定理的證明劉徽采用出入相補(bǔ)原理，證明了《九章算術(shù)》中許多幾何公式和定理．例如，他在證明三角形面積公式時(shí)，思路如下：把三角形的高h(yuǎn)二自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不移動(dòng)也，合成弦方之冪． 可惜的是原圖失傳，所以不知?jiǎng)⒒赵鯓?出入相補(bǔ) ．劉徽在研究立體幾何時(shí)，發(fā)現(xiàn) 邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑，陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也 ．即 過(guò)對(duì)角面分割塹堵為一個(gè)陽(yáng)馬(圖4 16中ABCDE)和一個(gè)鱉臑(圖4 16中DEFC)，則陽(yáng)馬與鱉臑的體積之比恒為二比一． 為敘述方便，我們稱之為陽(yáng)馬定理．劉徽從長(zhǎng)方體體積公式出發(fā)證明了這一定理，然后用它證明了各種多面體的體積公式．另外，他還發(fā)現(xiàn)了一條重要原理：對(duì)兩個(gè)等高的立體，若用平行于底面的平面截得的面積之比為一常數(shù)，則這兩立體的體積之比也等于該常數(shù)．這一原理可稱為 劉徽原理 ．在《九章算術(shù)注》中，劉徽多次運(yùn)用了這一原理，例如，圓臺(tái)體積∶外切正四梭臺(tái)體積=圓面積∶外切正方形面積= ∶4．書中對(duì)圓錐、圓臺(tái)等旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導(dǎo)，都是以劉徽原理為依據(jù)的．(3)對(duì)球體積的研究劉徽發(fā)現(xiàn)了《九章算術(shù)》中球體積公式不正確，試圖利用劉徽原理求出正確的球體積公式．他首先作球的外切立方體，然后用兩個(gè)直徑等于球徑的圓柱從立方體內(nèi)切貫穿(圖4．17)．于是，球便被包在兩圓柱相交的公共部分，而且與圓柱相切．劉徽只保留兩圓柱的公共部分，取名 牟合方蓋 ．(圖4．18)根據(jù)劉徽原理，球體積與牟合方蓋體 體積，整個(gè)問(wèn)題就迎刃而解了．劉徽沒有成功，只好 以俟能言者 ．但他的思路正確，為后人解決這一問(wèn)題打下了基礎(chǔ)．4．劉徽的極限觀念從《九章算術(shù)注》可以看到，劉徽具有明確的極限思想．他把極限用于代數(shù)和幾何研究，取得重要成果．這說(shuō)明極限思想從春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期萌芽以后，到這時(shí)已有較大發(fā)展．例如，劉徽的割圓術(shù)便建立在極限理論的基礎(chǔ)上．他說(shuō)： 割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣． 就是說(shuō)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，正多邊形面積的極限便是圓的面積．他還把割圓術(shù)用于求弓形面積．如圖4．19，劉徽在弓形內(nèi)為弓形面積．顯然，用此方法可使弓形面積達(dá)到任何需要的精確度．劉徽在研究開方不盡的問(wèn)題時(shí)，認(rèn)為求出的位數(shù)越多，就越接近真值，但永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到真值，只能根據(jù)需耍，求到 雖有所棄之?dāng)?shù)，不足言之也 的程度．劉徽正是在這種極限觀念的基礎(chǔ)上創(chuàng)立十進(jìn)分?jǐn)?shù)的．他在征明有關(guān)體積的定理(如陽(yáng)馬定理)時(shí)也用到極限，并深刻地指出，極限問(wèn)題 謂以情推，不用籌算 ，就是說(shuō)研究極限靠思維和推理而不靠具體計(jì)算．
